硬核：深入分析 TWAMM 做市商的数学原理

从数学角度论证和解释 Uniswap 创始人与 Paradigm 研究团队设计的全新做市模型 TWAMM 的工作原理。

撰文：luffy

最近，Paradigm 研究合伙人 Dave White、Dan Robinson 与 Uniswap 创始人 Hayden Adams 一起合作设计了一个全新的做市模型「时间加权做市商 TWAMM 」（The Time-Weighted Average Market Maker）。根据其发表文章介绍， TWAMM 可以在以太坊上有效地交易大额订单，工作原理是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，在一定时间内使用嵌入式 AMM 平滑地执行这些交易。

关于 TWAMM 的虚拟交易所涉及的数学，Dave White 在文中并没有多费笔墨，只在最后给出了非常简单的数学结论，这对于理解 TWAMM 的数学原理非常不利。本文将重点对 TWAMM 的数学原理进行严格的论证和解释，至于 TWAMM 模型详细的设计原理，可以前往 Paradiagm 官网查看 ，本文不再做详述。

定义

假设 TWAMM 执行大额虚拟交易需要 N 个区块，出售 X 的池子以每区块 x _rate 的速率出售，而出售 Y 的池子以每个区块 y _rate 的速率出售。因此，在整个期间售出的 X 总量为 x _in =Nx _rate ，售出的 Y 总量为 y _in =Ny _rate 。

同时，我们将此时间段嵌入 AMM 的初始储备 x _reserve 和 y _reserve 分别表示为 x ₀ =x _ammStart 以及 y ₀ =y _ammStart 。

按照 TWAMM 的设计，大额订单是随着区块进行交易的，每个区块出售 x _rate 得到 y _out ，或者出售 x _rate 得到 y _out ，同时 AMM 会更新 x _reserve 和 y _reserve 的值，整个过程总共交易 N 次。

值得注意的是， AMM 的每个区块交易总是遵循恒定乘积做市。

公式

首先，在执行第 n-1 区块的交易后，我们假设此时 AMM 的 x _reserve 和 y _reserve 值分别为 x _n-1 和 y _n-1 。

接下来执行第 n 区块的交易，X-Pool 和 Y-Pool 分别向 AMM 输入 x _rate 和 y _rate ，命：

因为 x _rate 和 y _rate 非常微小，且区块的交易 AMM 遵循恒定乘积做市商，我们可以得到，

化简，

在得到 x _out,n 和 y _out,n 的值后，我们进一步可以获得 n 区块的交易后 AMM 的 x _reserve 和 y _reserve 值 x _n 和 y _n ，

通过观察，我们发现 x _n *y _n =x _n-1 *y _n-1 ，这正好符合 AMM 的循恒定乘积做市的前提要求。

令， x _n *y _n =x _n-1 *y _n-1 =...= x ₁ *y ₁ =x ₀ *y ₀ =k，这是一个常数。

分式线性递归

先对 x _n 求得一般公式，并获得 x _ammEnd =x _N 的值，y _n 同理。

y _n 的分式线性递归表达式如下：

解

首先，若 y _in 等于 0，x _in 不等于 0，则

而

计算得到，

而，

x _in 等于 0，y _in 不等于 0 时，讨论同上。

若 x _in 和 y _in 都不等于 0，对于一般的分式线性递归，我们可以采用 不动点 的方法求解。

进一步计算，

极限

TWAMM 的基本假设是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，也即是 N 可以取无穷大，这时候可以获得 x _N 的极限值。

其中，

相似的，

最后，经过简单的验证 x _ammEnd *y _ammEnd =x _ammStart *y _ammStart =k, 依然满足 AMM 的恒定乘积。

至此，我们完成了 TWAMM 的数学原理严格的论证和解释，并得到了与 「时间加权做市商 TWAMM 」 一文完全相同的结论。