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浅谈自动做市商 (AMMs) 机制：从 Uniswap 理解 Balancer
译者：洁sir
在去中心化金融 (DeFi) 的世界中，去中心化交易所 (DEX) 为最重要且最核心的一环。其中最具代表性的为 Uniswap，以一行简洁且优美的数学公式作为模型核心，建构出一个全自动的交易市场。Balancer 则可看作广义的 Uniswap，赋予 Uniswap 更大的弹性，让任何人都能在以太坊上打造自己专属的资产配置组合，且还具备自动再平衡的功能！相对的，Balancer 的数学模型会复杂些，但本质与 Uniswap 无太大的差异。
本篇文将从 Uniswap 出发，用图解搭配四则运算介绍交易如何发生，再以简化的方式将其推广至 Balancer 的做市机制。
Uniswap 恒定乘积做市商模型简介
一切从这行简单的公式出发：（以 ALT/USD pair 为例）
池中USD总量
X，池中ALT总量，K常数
在没人增加或移除流动性的前提下，池中两边代币总量的乘积为常数
然而上面那句话的叙述其实是错误的，每次只要有人进行交易贡献手续费， k 值就随之改变，但改变的幅度极小。因此，为简化讨论以下的计算都先暂时忽略手续费的影响。
交易如何发生？
任何交易的发生都离不开上面那条等式，假设预期买入 Δx 个 ALT，那会需要花费多少个 USD？
买入及卖出会改变池内 代币的数量
买入 ALT 会让池中 ALT 的数量减少；付出 USD 会让池中的 USD 数量增加。无论如何改变 x 或 y，池内 tokens 数量必须满足前述等式，将其画成图如下，蓝线为双曲线的一支。
在蓝线的限制条件下，给定 Δx 就自动决定 Δy，反之亦然。
所以只要有交易发生，该点就会在蓝线上移动。
成交价格如何决定？
有了 Δx 及 Δy 后就能算出此笔交易的成交价格：
单位：USD/ALT
例如：买 50 ALT (Δx) 花了 100 USD (Δy)，成交价格就是 100/50 = 2 USD/ALT由图可观察出，成交价格即为两点相连之直线斜率（取绝对值）。
不同买入量对成交价格的影响
不同的买入量 Δx 会对应不同的 Δy，而产生不一样的价格。一次买入越多，成交价格就越高（斜线越斜），此即为滑价的成因。BlackHoleSwap 以及 Curve 皆以神奇的数学或 DeFi 乐高的堆叠，很巧妙的减少了稳定币互换的滑价问题。
现价 (Spot Price) 及总资产价值
所谓交易深度够好，不容易滑价，在 DEX 中代表流动性佳，正常人一次交易不会改变价格太多，以数学来表示即为 Δx x 和 Δy y。所以在 Uniswap 中我们指的现价就是 Δx 非常小时的成交价。
看起来可能有点像是废话，但证明会用到微分
所以我们只要知道池内 USD 及 ALT 的数量就能算出现价，有了现价就可以算出池内总资产：
简单证明了在 Uniswap 的流动池中，两种资产永远会保持 1:1 ，各占 50%。由上可知，在此类自动做市商模型中，价格是在交易中产生，这点跟挂单搓合式交易有极大的差别。以股票为例，若市场预期大好，开盘即涨停 (+10%)，则唯一能成交的价格就只有涨停价。卖方能一次获得 10% 的利润，不会有任何中间的价格成交。但在 Uniswap 中，兼顾买方及卖方的流动性提供者会被方程式所限制，必须沿着线一路往上卖，此时无法将利润最大化。但相反来说，若市场大跌也会一路向下买，不用直接面对 -10% 的卖单。
Balancer 简介
Balancer 的数学模型看似复杂，但其实能看作一个广义的 Uniswap，只需经过几个步骤的简化就能更直观地去理解其运作的机制。
做市模型
为Balancer 白皮书的定义：t 为 tokens 的种类数；V 为常数：W 为权重，其总和为 1
先将其改写为较为亲民样，这里先假设这个池子内只有 3 种资产（即 t = 3）
x, y, z 分别为三种资产在池内的数量，k 为常数
次方上的权重 W 即为该资产在池子内的比例，其总和为 1 (100%)。若将其设为 1/3、1/3、1/3，则可再简化方程式：
有没有发现长得越来越像 Uniswap！由于 k 跟 k’ 都为常数，后面所有常数都统一以 k 来表示。
池中有三种资产，这样怎么交易？
先把其中一种遮起来，留下要交易的那两种即可。
所谓交易就是拿 A 币换 B 币。
假设x、y、z 分别为ALT、USD、SHIT 三种的数量，若今天打算用USD 买入ALT，那整个过程其实跟SHIT 的数量没有关系，因此可以将z 当成常数合并到k 之中，如此一来方程式就变得跟Uniswap 完全一样了！
借图像再次说明这件事情：
三维曲面为函数 x y z = k 所绘制的图形，绿色为 z = const. 的平面，两者相交即为双曲线（的一支）将 z 视为常数之后，剩下由 x 和 y 两个自由度所构成的二维曲线与前述之 Uniswap 数学模型完全相同。
可以说 Balancer 内其实藏着 Uniswap！再复杂些：加入更多币种，任意调整权重
实际上 Balancer 的运作可以更复杂，例如 Hakaa Finance 的流动性挖矿 Pool 2，用的就是 2% HAKKA + 4% DAI + 4% USDC + 90% BHSc$ 这个配置。但从前面的说明可以了解到，无论池内有几种币，在做价格计算时仅会用到 2 种，其他皆可看作常数。
这边以 20/60/10/10 比例的 ALT/USD/SHIT1/SHIT2 池来进一步的说明：
若每个币种的配置比例不均等的话，那无法将方程式化简成 Uniswap 的形式，会多出一个次方项。此时可再多做一次转换，重新定义变数，再次化简方程式：
重新定义变数
将 y 的 3 次方重新定义成 Y 之后，最熟悉的 Uniswap 又出现了！这时就能回头套用最初 Uniswap 的图：
经过座标转换后，Balancer 跟 Uniswap 的数学式相同
接着就能按照前述定义计算成交价：
注：计算价格是以实际付出的 token 数量去计算，因此分子是 Δy 而非 ΔY
资产配置比例如何影响价格？
有了上述概念后，接着将权重的数字以符号替代，重新再整理一次：
两个币种权重的比值决定价格变化的程度
比较 Balancer 与 Uniswap 的成交价公式（下式设 Uniswap 的 y = Y 以便比较）
由上比较可看出，在成交价的计算中 Uniswap 与 Balancer 的形式基本相同，唯一的区别只在次方项，且该数值由权重决定。
现价 (Spot Price) 及总资产价值
如前所述，知道成交价的计算方式后，只要让 Δx x（即 Δx ➝ 0）即可求得现价：
有了现价就能计算出池内各个币种的价值：
池中 ALT 的资产价值（单位：USD）
代表无论池内资产数量如何变化，每个币种的价值都会维持在最初设定的比例。
在 Balancer 中打造自己专属的资产配置
如前所述， Balancer 内部的每种资产会固定于初始设定的比例，我想这也是为什么要叫做 “Balancer” 的原因。因此我们可以利用此性质，在 Balancer 中打造自己专属，且全自动的投资组合！
假设举例来说：我希望自己加密货币的资产配置能固定为 10% DAI + 45% PERP + 45% HAKKA。
状况 1：单纯持有现货，将其放于钱包/交易所。当其中一个币种的价格产生了变化，整体的比例就会失衡，需自行在三个币种之间买卖以调整比例，此动作称为再平衡。要想一直维持比例必须频繁的执行，且还须精算每个币种要买卖的数量，既麻烦又花时间，还要花额外的手续费。
状况 2：利用 Balancer 打造自己专属的流动池。若想将上述的流程自动化，则可直接在 Balancer 上增加自己专属的流动池。建好池后，当其中任一种币的价格产生变化，就会有人前来套利以平衡价格，相当于有人替我执行了再平衡的操作，如此不仅不需花手续费，还会有手续费的收入(Swap fee)。
备注：Balancer 的 router 会自动在现有的池中挑选价格最好的交易，所以套利者不需逐池检查最优价格在哪。值得特别注意的是，以上说明必须在资金量体足够大时才能被妥善执行，因为要是流动池太浅，会非常容易滑价，滑价代表价格差，则router 就会优先让其他深度好的池先被交易，此状况在比例不均的池尤其严重。
深度不足解决方式有二种：
1.多准备一些钱，让流动池变深。 2.让别人加入你的池 (Shared Pool)，或找现成的池去去增加流动性（那当然就会是跟着对方配置的比例）。
构建自己的ETFs
固定资产比例+再平衡即为市面上大部分 ETF 的运作模式。所以其实任何人都可以很容易用 Balancer 发行自己专属且指数成分自定义的 ETF，LP 代币即为该 ETF 的代币。此基金不仅不会有内扣的管理费用，且还会有额外的手续费收入！因为不需主动执行再平衡，会有套利者送钱来帮你做。
滑价 (Slippage) 分析
当有人建立了流动池后，任何人就能对其进行交易 (Swap)，而身为交易者最关心的就是价格。本节将简单探讨池子的权重如何影响交易深度。
先来个小测验：假设有三种 Balancer Pool，流动性都是 100M (USD + HAKKA) 权重分别为： (1) 20/80 (2) 50/50 (3) 80/20
试问：假设我手上有 10M 的 USD 要入场买 HAKKA，哪个比例的池滑价会最小？
答案： (2)50/50 - 溢价 20% 其他两个分别为： (1) 20/80 - 溢价 29.67% (3) 80/20 - 溢价 33.08%
在这类 Uniswap-like 的 DEX 中，只要任一边的资产数量被大幅度改变，就会对价格造成严重影响。
10M USD 入场购买 HAKKA ，在 20/80 池中相当于一次增加池内 50% 的 USD 总量；在 80/20 池中则等同于于一次买走池内 37.57% 的 HAKKA。所以 50/50 会是对两边影响皆最小的比例*，因而滑点最小。
此为 10M USD 入场买 HAKKA 时的滑点图。横坐标为 USD 的权重
由图可观察出，比例越极端，滑点越高，这也是为什么当初DAI/YFI 的98:2 池开挖之后YFI 会暴涨的主要原因之一，那时很多人在没研究透彻的情况下直接单边增加流动性，或者直接在Balancer 买入YFI，从上图可以看出这种买法会疯狂的拉抬币价，使YFI 疯狂的翻倍。注* 其实理论上滑价最小的比例非刚好 50/50，而是会略小于 50% (USD)。
提醒：实际交易时，滑点的大小在 Balancer 中会以 “Price Slippage” 来表示，在 Uniswap 中则是写 “Price Impact”。但若以不同的单位（USD/HAKKA 或HAKKA/USD）去计算滑价会得到不一样的数值，所以建议在交易时不要看Uniswap 或Balancer 上Slippage 的数字，请直接看它预估的成交价格。
损益 (Profit and Loss) 及无常损失 (Impermanent Loss) 分析
无常损失不等于币价下跌后总资产的亏损。假设一个状况：我看好 HAKKA 将来会涨，所以想买入持有，且手上有一笔能拿来投资的资金 1,000 USDC。依据个人风险承受能力的不同，每个人的做法会不同。
可能出现的状况如下：
1.100% 梭哈买入，承担所有大起大落的波动风险。 2.98% 近乎梭哈买入，仅保留 2% 现金。 3.80% 部分买入，稍微降低些波动风险。 4.50% 一半买入，预留一半现金，保守投资。
此时手上会有部分 HAKKA 及部分 USDC，这时除了单纯握着现货之外，还能选择将所有资产都投入流动池，池内总资产变化如下图：
在 Balancer 中，各种比例的流动池内的总资产变化。
显而易见的，一次买入越多 HAKKA，资产变化得越剧烈。若有预留现金，虽然涨的时候会少赚些，但跌时也会少赔点。一旦投入流动池之后任何人都能前来交易，好处是能获得手续费，但坏处是会有无常损失，相较于不进池，可能会有额外的损失。相较于拿着现货，进池后因价格发生变化而产生的额外损失
50/50 的池会有最大的无常损失，价格变化越多，额外损失越大。但对于流动性提供者而言，只要交易手续费的收入大于无常损失，那就会比在池外的 HODLers 有更高的收益。
到底要用什么比例
先简单整理一下以上资讯，以两个极端来举例：
50/50：基本上是最不易滑价格的比例，能提供最稳定的交易，这也是为什么 Uniswap 使用起来很香的原因，能有最大的交易量及最多的手续费收入，但是会有最大的无常损失。
98/2：几乎没有无常损失，但此交易对非常容易滑价，价格十分不稳定，无法吸引人前来交易，因此交易量势必较小，手续费也因此较少。
这是天秤的两端，需要在两者中做取舍： 无常损失越大，滑价越小； 无常损失越小，滑价越大。
流动性的增加对于一个项目的发展来说是很重要的，好的交易深度能让更多人参与二级市场，因此出现了各种奖励机制吸引大家主动增加流动性。
80/20是个折衷的选项，有不太大的无常损失，同时也具有不错的价格稳定性，此即为 Perpetual Protocol 选择此以比例作为奖励池的原因。另一方面还能降低投资者的风险，不用梭哈 PERP，手中能保有一些现金，降低整体资产的波动率，面面俱到，两全其美。
结论
个人认为Uniswap 及Balancer 等AMMs 的出现是去中心化世界的一大里程碑，能以一条简单的方程式建构出一个全自动且完整的交易系统，再搭配奖励机制（如UNI 或BAL）吸引更多人投入，以正向的循环让整个生态更加完善（两天就破的各种Yield Farming 圈钱泡沫不在此列）。若有兴趣参与这个市场，除了关注商业模式外，多了解运作原理也能避免自己不小心落入陷阱——至少要知道自己如何归零的。
原文链接：Automatic Market Makers (AMMs) Mechanism: Understanding Balancer from Uniswap
